概率论

这东西并不难学。
这片博客主要介绍离散概率、连续概率、期望与微积分……

离散型概率入门


计算方法

首先,我们来讨论一个最原始的问题:抛一个质地均匀的硬币,抛中正面的几率是多大?
显然$50\%$

那么问题加深一番:抛两个质地均匀的硬币,都抛中正面的几率是多大?
显然$25\%$

进一步,抛$n$个硬币,全都正面朝上的几率是$0.5 \times 0.5\times 0.5\cdots=0.5^n$.
如何理解这个概率?全部正面朝上,显然要求第一个朝上、第二个朝上……所有的要求都满足的时候,事件就达成了。

由此总结出乘法法则

考虑将一个事件$A$拆成小事件$a_i$,小事件必须全部发生。
$A$发生的概率为:$P(A)=P(a_1)\times P(a_2)\times P(a_3)\cdots$


但是乘法法则显然不是万能的。我们总会遇到一些乘法法则不好用的情况。
还是抛$n$次硬币。问恰好$m$次正面朝上的概率。

这时候乘法法则就不太好用了。你要钦定哪些时候抛中$1$,大大增加计算量。
换一种思路。考虑所有可能的情况,共有$2^n$中;恰好抛中$m$个的情况有$C^m_n$种。故总概率是:
$\displaystyle P(抛中m个)=\frac{C^m_n}{2^n}$.

这就是计数法则:

考虑事件所有可能发生的情况总数$S$
考虑使得$x$成立的情况总数$T$
则有:$\displaystyle P(x)=\frac{T}{S}$


例题:Link的游戏

Link很喜欢提交vijos某道题。他的程序随机生成答案,已知对于每个测试点,正确的几率是$0.5$.共有$10$个测试点,求Link通过$9$个测试点的概率。

考虑所有可能情况共$1024$种,其中恰好错掉一个点的情况共$10$种。
故有:$P(通过9个点)=\frac{10}{1024}$.

常识

概率为$0$的事件可能发生;概率为$1$的事件可能不发生。
一个例子:从数轴$[0,1]$上随机取一个实数,取到$0.5$的概率是$0$,但是它可能发生。

实际上,在概率论中,一个事件的概率为$0$,表示它几乎一定不发生。

数学期望


数学期望是指:对于每个可能发生的事件$x$,对答案造成$w(x)\times P(x)$的贡献。
其中$w(x)$$x$的价值,$P(x)$$x$发生的概率。

计算方法

扔硬币一次。记抛中正面为得一分,反面不得分。求得分的期望。

依据定义,我们可以得到答案:
- 抛中正面,对答案的贡献是$1\times 0.5 = 0.5$.
- 抛中反面,对答案的贡献是$0 \times 0.5 = 0$.

故最终答案为:$E = 0.5$

进一步,我们扔硬币$n$次,求得分的期望。
由于每次抛硬币都会对答案造个$0.5$的贡献,所以$E=0.5n$.

我们好像发现了世界的奥秘……
期望的线性性质:

无论何时,期望总是线性可加的。

有了这个性质,我们可以大大简化计算。
考虑一个事件,每次尝试都有$p$的概率做成。问期望尝试多少次,可以把事情做成。

我们定义“完成度”:完全完成是$1$,完全不完成是$0$.那么每次尝试,完成度的期望都是$p$.
假设期望尝试$c$次,则根据期望的线性性质有:$c\cdot p=1$,故$c=\frac{1}{p}$.

连续型概率入门


上面的例子,可能发生的事情种类是有限的,我们可以直接枚举所有情况进行计算,例如古典概型。

但是还有些问题,例如几何概型,可能发生的事情种类是无限的!

  • 从数轴$[0,1]$上随机取一个实数$x$,求$x$的期望。
  • $1\times 1$的正方形内随机取三个点,求围成三角形面积的期望。
  • ......

面对这种情况,我们已经不能枚举所有的情况,所以开始寄希望于微积分。

考虑黎曼积分的原始形式:将定义域分为很多份,对每一份构成矩形来求面积。
黎曼积分

假设我们从数轴$[0,1]$上随机取一个实数$x$,求$x$的期望。

我们在$[0,1]$$n$个等距的点,并且规定只能在这些点上取。那么取到每个点的概率都是$\frac{1}{n}$.
考虑取$x$的价值,显然是$w(x)=x$.因此第$i$个点的价值是$\frac{1}{n}\cdot i=\frac{i}{n}$.因此期望是:
$\displaystyle E(x)\approx\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\cdot\frac{i}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n i}{n^2}=\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$.

显然,我们将点取得越多,这个结果就越精确。当点取到无限多时,上面的结果已经无限接近于真实情况。故最后的答案是:
$\displaystyle E(x) = \lim_{n \to \infty}(0.5+\frac{1}{2n})=0.5$.

上面的求解方式已经相当类似于微积分的表述了。类似地,我们总结出一般规律:

对于一个离散型概率,有$\displaystyle E=\sum w(x)\cdot P(x) \cdot[x为合法事件]$

对于一个连续型概率,有$\displaystyle E=\int w(x)\cdot P(x) \cdot[x为合法事件]$

微积分博大精深。


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