定积分与牛顿-莱布尼兹公式

简单定积分

对于简单的定积分,我们可以通过普通的分段求和来搞出来。例如:

$\int_0^1 x^2dx$

这里的定积分的意义是“ $f(x)=x^2$$x=0$$y=0$$x=1$ 围成的图形的面积”。

做法:将$x$$[0,1]$分成$n$份,每份的宽度是$\frac{1}{n}$。考虑每一小块,第$i$小块的$x$坐标是$\frac{i}{n}$,那么第$i$小块的$y$坐标就是$\frac{i^2}{n^2}$

$i$小块的面积是$\frac{i^2}{n^2}*\frac{1}{n}=\frac{i^2}{n^3}$。求和所有小块,即为:

$\sum_{i=0}^n \frac{i^2}{n^3} = \frac{\sum_{i=0}^n {i^2}}{n^3} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}*\frac{n+1}{n}*\frac{2n+1}{2n}$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3}*\frac{n+1}{n}*\frac{2n+1}{2n} = \frac{1}{3}$

故所求曲边梯形的面积就是$\frac{1}{3}$

牛顿-莱布尼茨公式

面对着相当可恶的多项式,上面的搞法就会出问题。

因为$\sum^n_{i=1}i^2$的计算公式我们知道,但是$\sum^n_{i=1}i^{233}$的计算公式真是天知道。

所以前人提出了巧妙的方法——牛顿-莱布尼茨公式。

公式的核心思想是,积分和求导是互逆运算。这个东西可以用定义强行推出来,但是也许下面的式子会有一定启发:$f'(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}$,则$\Delta y=\Delta x *f'(x)$

如何应用牛-莱公式?(下面的式子都省略$dx$$f(x)$$F(x)$的导数,则有: $\int_a^b f(x) = F(b)-F(a)$

例子:仍然用之前的$\int_0^1x^2$。令$f(x)=x^2$,脑补出它是$F(x)=\frac{1}{3}x^3$的导数。

那么$\int_0^1x^2=F(1)-F(0)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$

简单方便!于是我们的任务不再是分段求面积,而是从导数反推出原函数

一般来说,$f(x)$为多项式的很好推。

例题:求$\int_0^1 (x^3-x+1)$

解:令$f(x)=x^3-2x+1$,脑补出原函数$F(x)=\frac{1}{4}x^4-x^2+x$。验算,成立。 那么$\int_0^1 f(x)=F(1)-F(0)=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}$

奇技淫巧

一般来说,$f(x)$为根式就很难推出原函数。但是如果$f(x)$有“猎奇的性质”,那么就可以从面积推积分

例如:求$\int_0^2 (\sqrt{4-x^2})$。显然这个东西相当难积,所以我们反其道而行之,求面积。

注意到$f(x)=\sqrt{4-x^2} ,x\in[0,2]$$x$$y$轴围成的图形恰为一个四分之一的圆,其面积是$\frac{\pi*2*2}{4}=\pi$。 故$\int_0^2 (\sqrt{4-x^2}) = \pi$

总结

微积分博大精深。


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